{"id":904,"date":"2022-08-28T13:48:13","date_gmt":"2022-08-28T11:48:13","guid":{"rendered":"https:\/\/bailleux.net\/?p=904"},"modified":"2023-11-08T20:22:37","modified_gmt":"2023-11-08T19:22:37","slug":"pourquoi-enseigner-les-mathematiques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/pourquoi-enseigner-les-mathematiques\/","title":{"rendered":"Pourquoi enseigner les math\u00e9matiques ?"},"content":{"rendered":"\n<p>Ce que je vais dire ici \u00e0 propos des math\u00e9matiques correspond \u00e0 l&rsquo;\u00e9tat actuel de ma compr\u00e9hension des fondements de ce domaine, et r\u00e9sulte de centaines d&rsquo;heures de r\u00e9flexion r\u00e9parties tout au long de ma vie. Ma compr\u00e9hension \u00e9volue en permanence. Si vous \u00eates math\u00e9maticienne ou math\u00e9maticien et que certains de mes propos vous paraissent erron\u00e9s, merci de me le signaler, par exemple en m&rsquo;\u00e9crivant \u00e0 olivier point bailleux at u tiret bourgogne point fr.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><a href=\"https:\/\/bailleux.net\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image1.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2238\" height=\"848\" src=\"https:\/\/bailleux.net\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-905\" srcset=\"https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image1.png 2238w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image1-300x114.png 300w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image1-1024x388.png 1024w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image1-768x291.png 768w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image1-1536x582.png 1536w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image1-2048x776.png 2048w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image1-624x236.png 624w\" sizes=\"auto, (max-width: 2238px) 100vw, 2238px\" \/><\/a><\/figure>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Les math\u00e9matiques, c&rsquo;est quoi ?<\/h2>\n\n\n\n<p>En l&rsquo;\u00e9tat actuel de ma compr\u00e9hension (je suis une personne de 58 ans, docteur en informatique, habilit\u00e9 \u00e0 diriger des recherches, enseignant chercheur universitaire en informatique), la science math\u00e9matique s&rsquo;int\u00e9resse \u00e0 deux sortes d&rsquo;objets :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>des objets <strong>purement syntaxiques<\/strong>, constitu\u00e9s de suites de symboles pouvant \u00eatre \u00e9crites par exemple sur papier ou \u00e9cran,<\/li>\n\n\n\n<li>des objets immat\u00e9riels, <strong>abstraits<\/strong>, tels que des nombres, des ensembles, des relations, des fonctions, des injections, des surjections, des espaces vectoriels, des structures alg\u00e9briques, des groupes, des morphismes, etc. etc. etc.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Les objets math\u00e9matiques abstraits peuvent \u00eatre nomm\u00e9s, identifi\u00e9s, voire repr\u00e9sent\u00e9s par des expressions \u00e9crites en langage math\u00e9matique. Toutefois, les repr\u00e9sentations d&rsquo;objets math\u00e9matiques abstraits en langage math\u00e9matique ne sont g\u00e9n\u00e9ralement pas des objets math\u00e9matiques purement syntaxiques. Cette nuance est extr\u00eamement difficile \u00e0 comprendre. Il m&rsquo;a fallu des d\u00e9cennies pour la saisir et je ne suis pas certain de l&rsquo;avoir compl\u00e8tement cern\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><a href=\"https:\/\/bailleux.net\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image2.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2308\" height=\"1230\" src=\"https:\/\/bailleux.net\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-906\" srcset=\"https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image2.png 2308w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image2-300x160.png 300w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image2-1024x546.png 1024w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image2-768x409.png 768w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image2-1536x819.png 1536w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image2-2048x1091.png 2048w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image2-624x333.png 624w\" sizes=\"auto, (max-width: 2308px) 100vw, 2308px\" \/><\/a><\/figure>\n\n\n\n<p>Par exemple :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>La notation $\\mathbb{N}$ n&rsquo;est pas en elle-m\u00eame un objet math\u00e9matique. C&rsquo;est la d\u00e9signation standard de l&rsquo;ensemble des entiers naturels, qui est un objet math\u00e9matique abstrait.<\/li>\n\n\n\n<li>L&rsquo;expression $s(s(z))$ peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme un objet math\u00e9matique purement syntaxique, d\u00e8s lors que les symboles $s$ et $z$ n&rsquo;ont pas de sens standardis\u00e9 dans le contexte o\u00f9 on les utilise.<\/li>\n\n\n\n<li>En revanche, si $s$ d\u00e9signe la fonction de $\\mathbb{N}$ dans $\\mathbb{N}$ qui \u00e0 tout $x$ associe son successeur, et si $z$ d\u00e9signe l&rsquo;entier 0, alors cette m\u00eame expression $s(s(z))$ est une repr\u00e9sentation de l&rsquo;entier naturel g\u00e9n\u00e9ralement d\u00e9sign\u00e9 par le symbole 2. On peut dire que l&rsquo;entier 2 est une des <strong>interpr\u00e9tations<\/strong> possibles du terme formel, c&rsquo;est \u00e0 dire de l&rsquo;objet math\u00e9matique purement syntaxique, $s(s(z))$.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><a href=\"https:\/\/bailleux.net\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image3.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2312\" height=\"526\" src=\"https:\/\/bailleux.net\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-907\" srcset=\"https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image3.png 2312w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image3-300x68.png 300w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image3-1024x233.png 1024w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image3-768x175.png 768w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image3-1536x349.png 1536w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image3-2048x466.png 2048w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image3-624x142.png 624w\" sizes=\"auto, (max-width: 2312px) 100vw, 2312px\" \/><\/a><\/figure>\n\n\n\n<p>Les math\u00e9maticiennes et math\u00e9maticiens s&rsquo;int\u00e9ressent aux <strong>propri\u00e9t\u00e9s<\/strong> des objets math\u00e9matiques abstraits. Iels expriment ces propri\u00e9t\u00e9s avec des <strong>\u00e9nonc\u00e9s<\/strong> math\u00e9matiques. Un tel \u00e9nonc\u00e9 est soit vrai, soit faux.<\/p>\n\n\n\n<p>Lorsque ces \u00e9nonc\u00e9s expriment des propri\u00e9t\u00e9s qui contribuent \u00e0 sp\u00e9cifier un ou plusieurs objets math\u00e9matiques, on les appelle <strong>axiomes<\/strong>. Lorsqu&rsquo;ils expriment des propri\u00e9t\u00e9s qui ont \u00e9t\u00e9 <strong>d\u00e9duites<\/strong> d&rsquo;un ensemble d&rsquo;axiomes, on les appelle des <strong>th\u00e9or\u00e8mes<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>On peut coder les \u00e9nonc\u00e9s (donc les axiomes et les th\u00e9or\u00e8mes), mais aussi les d\u00e9ductions et les preuves, avec des objets math\u00e9matiques purement syntaxiques, et s&rsquo;appuyer sur une telle formalisation pour mod\u00e9liser math\u00e9matiquement\u2026 le raisonnement math\u00e9matique. On \u00ab\u00a0jongle\u00a0\u00bb alors avec plusieurs niveaux d&rsquo;abstraction.<\/p>\n\n\n\n<p>Par exemple, voici un \u00e9nonc\u00e9 exprim\u00e9 en fran\u00e7ais :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>La somme de deux entiers naturels impairs est toujours un entier naturel pair.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Cet \u00e9nonc\u00e9 comporte beaucoup d&rsquo;information implicite. Pour en saisir le sens, il faut comprendre en profondeur ce qu&rsquo;est un entier naturel, la somme de deux entiers naturels, un entier naturel pair et un entier naturel impair. <\/p>\n\n\n\n<p>Voici une reformulation plus d\u00e9taill\u00e9e :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Pour tout $x \\in \\mathbb{N}$ et pour tout $y \\in \\mathbb{N}$, si il existe $t \\in \\mathbb{N}$ et $u \\in \\mathbb{N}$ tels que $x = 2t + 1$ et $y = 2u +1$, alors il existe $s \\in \\mathbb{N}$ tel que $x+y = 2s$.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Dans cette deuxi\u00e8me version, seuls les symboles $x, y, t, u, s$, appel\u00e9s variables, sont des objets math\u00e9matiques purement syntaxiques ayant une infinit\u00e9 d&rsquo;interpr\u00e9tations. Chacune de ces interpr\u00e9tations met en relation chaque variable avec un objet math\u00e9matique abstrait. La notation \u00ab\u00a0$\\in \\mathbb{N}$\u00a0\u00bb restreint ces interpr\u00e9tations aux entiers naturels. Les autres symboles sont des notations standards d\u00e9signant chacune un unique objet math\u00e9matique abstrait. Par exemple, $+$ d\u00e9signe une fonction particuli\u00e8re de $\\mathbb{N}$ dans $\\mathbb{N}$, appel\u00e9e addition standard, et $=$ d\u00e9signe la relation identit\u00e9 sur $\\mathbb{N}$. <\/p>\n\n\n\n<p>Cet \u00e9nonc\u00e9 peut \u00eatre cod\u00e9 \u00e0 l&rsquo;aide d&rsquo;objets math\u00e9matiques purement syntaxiques appartenant au langage arithm\u00e9tique de Peano, ce qui donne :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>$\\forall x \\forall y$ $($ $\\exists u$ $($ $\\text{add}(\\text{mul}(\\text{succ}(\\text{succ}(\\text{zero}))),u)$ $,$ $\\text{succ}(\\text{zero})$ $)$ $=$ $x$ $\\wedge$ $\\exists t$ $($ $\\text{add}(\\text{mul}(\\text{succ}(\\text{succ}(\\text{zero}))),t)$ $,$ $\\text{succ}(\\text{zero})$ $)$ $=$ $y$ $)$ $\\to$ $($ $\\exists s$ $($ $\\text{add}(x,y)$ $=$ $\\text{mul}(\\text{succ}(\\text{succ}(\\text{zero})),s)$ $)$<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Cette troisi\u00e8me version de l&rsquo;\u00e9nonc\u00e9 est un objet math\u00e9matique purement syntaxique, qui peut \u00eatre interpr\u00e9t\u00e9 d&rsquo;une infinit\u00e9 de fa\u00e7ons diff\u00e9rentes, bien que certains symboles, comme $\\exists$ et $\\wedge$, aient une interpr\u00e9tation standard d\u00e9finie dans le cadre de la logique. On peut prouver \u00ab\u00a0m\u00e9caniquement\u00a0\u00bb que la propri\u00e9t\u00e9 encod\u00e9e est une cons\u00e9quence logique d&rsquo;un ensemble d&rsquo;axiomes qui mod\u00e9lisent la notion de successeur, l&rsquo;addition et la multiplication d&rsquo;entiers naturels. Les axiomes de d\u00e9part restreignent les interpr\u00e9tations des symboles $\\text{add}$, $\\text{mul}$ et $\\text{succ}$.<\/p>\n\n\n\n<p>Typiquement, la d\u00e9marche de recherche en math\u00e9matiques consiste \u00e0 partir d&rsquo;axiomes sp\u00e9cifiant certaines propri\u00e9t\u00e9s d&rsquo;objets math\u00e9matiques, puis \u00e0 r\u00e9aliser des d\u00e9ductions qui aboutissent \u00e0 des th\u00e9or\u00e8mes qui sont vrais pour tous les objets math\u00e9matiques v\u00e9rifiant les axiomes de d\u00e9part. On appelle <strong>preuve<\/strong> d&rsquo;un th\u00e9or\u00e8me la suite de d\u00e9ductions aboutissant \u00e0 ce th\u00e9or\u00e8me.<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Ce n&rsquo;est qu&rsquo;au vingti\u00e8me si\u00e8cle (\u00e0 ma connaissance) que la communaut\u00e9 math\u00e9matique a r\u00e9alis\u00e9 qu&rsquo;en consid\u00e9rant les \u00e9nonc\u00e9s, d\u00e9ductions et preuves comme des objets math\u00e9matiques \u00e0 part enti\u00e8re, on pouvait mettre en ab\u00eeme les math\u00e9matiques en s&rsquo;appuyant sur le formalisme de la logique. C&rsquo;est \u00e0 dire qu&rsquo;on pouvait, par exemple, construire des \u00e9nonc\u00e9s dont les variables repr\u00e9sentent des \u00e9nonc\u00e9s, des d\u00e9ductions ou des preuves, et prouver que certaines m\u00e9thodes de preuves produisent toujours des cons\u00e9quences logiques des axiomes de d\u00e9part. C&rsquo;est \u00e0 ce moment l\u00e0 que Kurt G\u00f6del a d\u00e9montr\u00e9 qu&rsquo;aucun ensemble \u00ab\u00a0exploitable\u00a0\u00bb d&rsquo;axiomes ne permettait de prouver tous les \u00e9nonc\u00e9s vrais formalisant les propri\u00e9t\u00e9s arithm\u00e9tiques, m\u00eames celles pouvant s&rsquo;exprimer uniquement avec des additions et multiplications sur les entiers naturels.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Un autre but des math\u00e9maticiennes et des math\u00e9maticiens est de produire des m\u00e9thodes de calcul permettant de r\u00e9soudre certains probl\u00e8mes de mani\u00e8re efficace et automatisable, ce qui nous am\u00e8ne aux domaines d&rsquo;utilisation et d&rsquo;application des math\u00e9matiques.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Domaines d&rsquo;utilisation<\/h2>\n\n\n\n<p>Beaucoup de syst\u00e8mes complexes, dans de nombreux domaines techniques et scientifiques, peuvent \u00eatre <strong>mod\u00e9lis\u00e9s<\/strong> par des objets math\u00e9matiques, ce qui permet, gr\u00e2ce \u00e0 des calculs, de pr\u00e9voir leur comportement ou, si applicable, de d\u00e9terminer les configurations et param\u00e8tres permettant d&rsquo;obtenir un comportement particulier.<\/p>\n\n\n\n<p>Les applications sont multiples, dans les domaines les plus vari\u00e9s tels que la physique, la chimie, l&rsquo;informatique, l&rsquo;\u00e9lectronique, la finance, l&rsquo;\u00e9conomie, les transports, les t\u00e9l\u00e9communications, l&rsquo;informatique, la biologie, la m\u00e9decine, la m\u00e9t\u00e9orologie, l&rsquo;exploration spatiale, l&rsquo;architecture, etc.<\/p>\n\n\n\n<p>Toutefois, bien que les math\u00e9matiques y aient un r\u00f4le crucial , une toute petite proportion des personnes travaillant dans tous ces domaines doivent r\u00e9ellement ma\u00eetriser les fondements des concepts et outils math\u00e9matiques qui y sont utilis\u00e9s. Les autres personnes exploitent, dans le cadre de leurs activit\u00e9s professionnelles, des formules, des abaques, des applications ou des proc\u00e9dures standardis\u00e9es qui ne requi\u00e8rent pas de ma\u00eetriser la th\u00e9orie sous-jacente.<\/p>\n\n\n\n<p>De fait, une tr\u00e8s grande partie des savoirs math\u00e9matiques abord\u00e9s lors des cursus scolaires et d&rsquo;enseignement sup\u00e9rieur ne seront pas utilis\u00e9s dans un contexte professionnel par la plupart des personnes ayant suivis ces cursus. Ceci n&rsquo;implique pas que l&rsquo;enseignement de ces savoirs soit inutile, mais simplement que, pour la plupart des gens, l&rsquo;utilit\u00e9 de ces enseignements, si applicable, est ailleurs.<\/p>\n\n\n\n<p>Par exemple, je d\u00e9couvre (je l&rsquo;avoue, avec une certaine stup\u00e9faction) au moment o\u00f9 j&rsquo;\u00e9cris ces lignes que l&rsquo;\u00e9tude des polyn\u00f4mes de degr\u00e9 3 (tableau de variation, extremums, nombre de solutions\u2026) est au programme de toutes les classes de terminales de bac professionnel. Il est parfaitement clair que, sauf extraordinaire exception, aucun paysagiste, m\u00e9canicien automobile, g\u00e9rant de commerce ou de restaurant n&rsquo;aura \u00e0 mettre en application de telles connaissances dans le cadre de son activit\u00e9 professionnelle. Pour ces personnes, l&rsquo;utilit\u00e9 d&rsquo;un tel savoir, si applicable, ne peut \u00eatre qu&rsquo;indirecte.<\/p>\n\n\n\n<p>Dans le m\u00eame programme commun \u00e0 tous les bac pro, \u00ab\u00a0le calcul du terme de rang donn\u00e9 d\u2019une suite arithm\u00e9tique dont le premier terme et la raison sont donn\u00e9s\u00a0\u00bb doit faire l&rsquo;objet d&rsquo;un entra\u00eenement r\u00e9gulier, sous forme \u00ab\u00a0d&rsquo;activit\u00e9s rituelles\u00a0\u00bb jusqu&rsquo;\u00e0 devenir un automatisme. Si cet objectif semble largement atteignable par une tr\u00e8s grande majorit\u00e9 des \u00e9l\u00e8ves concern\u00e9s, il me parait excessivement peu probable que ces personnes aient l&rsquo;occasion d&rsquo;exploiter un tel automatisme dans le cadre de leur futur m\u00e9tier. Encore une foi, il faut chercher ailleurs l&rsquo;utilit\u00e9 d&rsquo;un tel enseignement. Je reviendrai sur ce point \u00e0 la fin de ce billet.<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Petite anecdote, au moment ou j&rsquo;ai \u00e9cris le paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent, je n&rsquo;avais pas en t\u00eate un quelconque automatisme permettant de calculer le terme de rang donn\u00e9 d\u2019une suite arithm\u00e9tique dont le premier terme et la raison sont donn\u00e9s. Je n&rsquo;ai d&rsquo;ailleurs jamais particip\u00e9 \u00e0 des rituels destin\u00e9s \u00e0 automatiser ce genre de calcul. Toutefois, j&rsquo;ai trouv\u00e9 la solution en moins d&rsquo;une minute, avec une simple feuille de brouillon et un crayon.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><a href=\"https:\/\/bailleux.net\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image4.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"132\" src=\"https:\/\/bailleux.net\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image4-1024x132.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-908\" srcset=\"https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image4-1024x132.png 1024w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image4-300x39.png 300w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image4-768x99.png 768w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image4-1536x198.png 1536w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image4-624x81.png 624w, https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Image4.png 1812w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/a><\/figure>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>J&rsquo;ai retrouv\u00e9 la d\u00e9finition d&rsquo;une suite arithm\u00e9tique en r\u00e9activant une connaissance ancienne, mais j&rsquo;ai construit la formule par la r\u00e9flexion, car \u00e0 l&rsquo;\u00e9poque o\u00f9 la notion avait \u00e9t\u00e9 abord\u00e9e dans mon cursus scolaire, ce genre de chose me barbait tellement que je n&rsquo;avais m\u00eame pas essay\u00e9 de la retenir.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Utilisations dans la vie quotidienne<\/h2>\n\n\n\n<p>Je vous propose une petite exp\u00e9rience. Essayez de vous rappeler et de recenser les occasions d&rsquo;utilisation des math\u00e9matiques votre vie quotidienne, hors vie professionnelle, hors assistance aux devoirs d&rsquo;enfants scolaris\u00e9s ou personnes suivant une formation, et hors loisirs math\u00e9matiques ou math\u00e9matiques r\u00e9cr\u00e9atives.<\/p>\n\n\n\n<p>Je me pr\u00eate au jeu et j&rsquo;obtiens la liste suivante, non exhaustive mais, je pense, assez repr\u00e9sentative.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Je fais r\u00e9guli\u00e8rement appel \u00e0 ma compr\u00e9hension de la notion de <strong>proportionnalit\u00e9<\/strong>, notamment pour calculer des pourcentages me permettant de comparer des proportions.<\/li>\n\n\n\n<li>J&rsquo;utilise des <strong>additions<\/strong> et <strong>soustractions<\/strong> pour g\u00e9rer mes comptes bancaires et mon budget.<\/li>\n\n\n\n<li>Je fais des <strong>calculs combinatoires<\/strong> pour d\u00e9terminer le niveau de s\u00e9curit\u00e9 d&rsquo;un code secret, d&rsquo;un cadenas \u00e0 chiffres, d&rsquo;un mot de passe\u2026<\/li>\n\n\n\n<li>J&rsquo;utilise la notion de <strong>rapport<\/strong>, ou quotient, pour comparer des ordres de grandeurs, par exemple dans le domaine de la consommation d&rsquo;\u00e9nergie lors des activit\u00e9 quotidiennes (chauffage, eau chaude, d\u00e9placements\u2026)<\/li>\n\n\n\n<li>Les notions d&rsquo;<strong>aire<\/strong>, de <strong>multiplication<\/strong> et de <strong>racine carr\u00e9e<\/strong> m&rsquo;ont permis de mieux visualiser ce que repr\u00e9sentent les 8000 hectares de for\u00eat d\u00e9cim\u00e9s par un incendie dans une r\u00e9gion de France.<\/li>\n\n\n\n<li>Les <strong>fonctions puissances<\/strong> et les <strong>suites g\u00e9om\u00e9triques<\/strong> me permettent de mieux appr\u00e9hender la notion de croissance <strong>exponentielle<\/strong> qui intervient notamment dans certaines phases des \u00e9pid\u00e9mies.<\/li>\n\n\n\n<li>Les <strong>fonctions affines par morceaux<\/strong> me permettent de comprendre comment est calcul\u00e9 mon imp\u00f4t sur le revenu et pourquoi je ne peux pas perdre d&rsquo;argent en changeant de tranche d&rsquo;imposition.<\/li>\n\n\n\n<li>La <strong>composition multiplicative<\/strong> de plusieurs facteurs et la notion de <strong>probabilit\u00e9<\/strong> me permettent de comparer les risques de transmission du virus de la CoVid selon le contexte et les pr\u00e9cautions prises, et notamment le lien entre ce risque et la concentration de CO2 en int\u00e9rieur.<\/li>\n\n\n\n<li>La notion de <strong>probabilit\u00e9 conditionnelle<\/strong> me permet d&rsquo;avoir un regard nuanc\u00e9 sur certains ph\u00e9nom\u00e8nes de soci\u00e9t\u00e9, par exemple en faisant bien la distinction entre la proportion d&rsquo;hommes parmi les personnes emprisonn\u00e9es et la proportion de personne purgeant une peine de prison parmi celles appartenant \u00e0 la gent masculine.<\/li>\n\n\n\n<li>Mes quelques connaissances en <strong>statistiques et probabilit\u00e9s<\/strong> me permettent de comprendre qu&rsquo;\u00eatre t\u00e9moin d&rsquo;un \u00e9v\u00e8nement, et \u00e0 fortiori \u00eatre inform\u00e9 par la presse d&rsquo;un \u00e9v\u00e8nement, n&rsquo;implique pas que cet \u00e9v\u00e8nement soit probable, et qu&rsquo;inversement, ne jamais avoir \u00e9t\u00e9 t\u00e9moins d&rsquo;un \u00e9v\u00e8nement n&rsquo;implique pas qu&rsquo;il soit tr\u00e8s improbable. D&rsquo;une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, mes connaissances en probabilit\u00e9s et statistiques, bien que limit\u00e9es, me permettent de prendre du recul vis \u00e0 vis des informations donn\u00e9es par la presse et des affirmations (parfois mensong\u00e8res) vues sur les r\u00e9seaux sociaux ou entendues dans mon entourage.<\/li>\n\n\n\n<li>Le <strong>raisonnement logique<\/strong> m&rsquo;est utile quotidiennement, pour toutes mes r\u00e9flexions.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Il ressort de cette liste deux choses remarquables.<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Une partie des notions de math\u00e9matiques \u00e9tudi\u00e9es durant ma scolarit\u00e9 me sont utiles dans la vie quotidienne, bien qu&rsquo;\u00e0 un niveau technique nettement inf\u00e9rieur \u00e0 celui auxquelles ces notions ont \u00e9t\u00e9 abord\u00e9es en classe. Je r\u00e9alise parfois quelques calculs simples, mais c&rsquo;est surtout une compr\u00e9hension en profondeur des notions concern\u00e9es qui m&rsquo;est utile pour mieux organiser, relier, interpr\u00e9ter les informations que je re\u00e7ois.<\/li>\n\n\n\n<li>Beaucoup de notions de math\u00e9matiques \u00e9tudi\u00e9es durant ma scolarit\u00e9 ne m&rsquo;ont jamais \u00e9t\u00e9 <em>directement<\/em> utiles dans la vie quotidienne. C&rsquo;est le cas par exemple de de la continuit\u00e9, des d\u00e9riv\u00e9es et primitives, du calcul int\u00e9gral, de la trigonom\u00e9trie, des espaces vectoriels, de l&rsquo;analyse de fonctions continues, des nombres complexes, des techniques de calcul de convergence de suites num\u00e9riques\u2026<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Les math\u00e9matiques \u00e0 l&rsquo;\u00e9cole<\/h2>\n\n\n\n<p>Pourquoi faut-il enseigner les math\u00e9matiques \u00e0 l&rsquo;\u00e9cole, au coll\u00e8ge, au lyc\u00e9e, et au del\u00e0 ? Quelles notions doivent-\u00eatre abord\u00e9es, quand, et comment, avec quels objectifs ? Ces questions ne sont pas nouvelles. Elles sont m\u00eame au coeur des pr\u00e9occupations de millions de d\u00e9cideuses, d\u00e9cideurs, enseignantes, enseignants, entrepreneuses, entrepreneurs, et autres personnes. Mais les r\u00e9ponses apport\u00e9es me laissent parfois un peu perplexe. Voici l&rsquo;\u00e9tat actuel de mes r\u00e9flexions, en tant qu&rsquo;ancien \u00e9l\u00e8ve, qu&rsquo;enseignant universitaire et que citoyen.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">1 &#8211; Kit de survie<\/h3>\n\n\n\n<p>Certaines comp\u00e9tences sont indispensables pour faire face aux probl\u00e8mes et activit\u00e9s de la vie quotidienne comme par exemple comprendre ce qu&rsquo;est une quantit\u00e9 discr\u00e8te ou continue, une addition, une multiplication, une proportionnalit\u00e9, un pourcentage, les unit\u00e9s de longueur, surfaces, volumes, et la capacit\u00e9 \u00e0 mettre en pratique ces connaissances en r\u00e9alisant des calculs simples, en utilisant une calculette, et m\u00eame \u00e0 la main ou de t\u00eate, au moins pour des petites valeurs (inf\u00e9rieures \u00e0 100) ou des valeurs arrondies (\u00e0 deux chiffres significatifs).<\/p>\n\n\n\n<p>Tous les outils math\u00e9matiques couramment utilis\u00e9s dans les activit\u00e9s quotidiennes, telles que faire ses courses, g\u00e9rer un budget, pr\u00e9voir les quantit\u00e9s de boisson et nourriture pour une f\u00eate d&rsquo;anniversaire ou une randonn\u00e9e, d\u00e9tecter une erreur importante sur une facture, doivent \u00e9videmment \u00eatre enseign\u00e9s d\u00e8s que possible. Je pense que ce point fait consensus.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">2 &#8211; Prendre du recul<\/h3>\n\n\n\n<p>Certains concepts math\u00e9matiques nous permettent de comprendre ou d&rsquo;am\u00e9liorer notre compr\u00e9hension du monde dans lequel nous vivons et peuvent nous aider \u00e0 prendre des d\u00e9cisions et \u00e0 nous forger des opinions. Je pense notamment aux probabilit\u00e9s et statistiques, aux probabilit\u00e9s conditionnelles, aux fonctions puissances, lin\u00e9aires, polynomiales, logarithmes, au calcul combinatoire. Certaines bases math\u00e9matiques, notamment, son n\u00e9cessaires pour assimiler des notions de physique, par exemple li\u00e9e aux concepts de puissance et d&rsquo;\u00e9nergie, qui ont une importance consid\u00e9rable dans notre quotidien.<\/p>\n\n\n\n<p>J&rsquo;estime n\u00e9cessaire que ces notions soient enseign\u00e9es \u00e0 toutes et \u00e0 tous, pas dans le <em>but<\/em> de cr\u00e9er des automatismes, ni de permettre aux gens de r\u00e9aliser des calculs complexes, mais plus dans un esprit de vulgarisation scientifique.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">3 &#8211; Apprendre \u00e0 penser<\/h3>\n\n\n\n<p>Je pense qu&rsquo;il s&rsquo;agit d&rsquo;un r\u00f4le crucial de l&rsquo;enseignement des math\u00e9matiques : amener les \u00e9l\u00e8ves \u00e0 d\u00e9velopper leurs capacit\u00e9s de d\u00e9duction, d&rsquo;analyse, de g\u00e9n\u00e9ralisation, d&rsquo;abstraction, leur capacit\u00e9 \u00e0 exploiter des techniques, des outils, des principes connus pour r\u00e9soudre des probl\u00e8mes qu&rsquo;iels n&rsquo;ont encore jamais rencontr\u00e9, et \u00e0 cultiver leur curiosit\u00e9 et leur exigence et leur rigueur intellectuelles.<\/p>\n\n\n\n<p>Ces qualit\u00e9s et comp\u00e9tences permettent, tout au long de la vie, d&rsquo;atteindre des objectifs ambitieux et gratifiants, comme r\u00e9ussir des \u00e9tudes sup\u00e9rieures, acc\u00e9der \u00e0 des m\u00e9tiers int\u00e9ressants et \u00e0 des postes bien r\u00e9mun\u00e9r\u00e9s (ou pas !), contribuer \u00e0 l&rsquo;am\u00e9lioration des conditions de vie des gens\u2026<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p><strong>Sauf que<\/strong> l&rsquo;id\u00e9e que nos capacit\u00e9s \u00e0 r\u00e9soudre des probl\u00e8mes math\u00e9matiques sont transf\u00e9rables \u00e0 d&rsquo;autres domaines pourrait-\u00eatre un neuromythe. Je cite un tweet de Jean-Fran\u00e7ois Parmentier, chercheur associ\u00e9 sur le num\u00e9rique pour l&rsquo;\u00e9ducation \u00e0 l&rsquo;IRIT Toulouse, que j&rsquo;ai lu apr\u00e8s avoir \u00e9crit ce billet :<\/p>\n\n\n\n<p>&#8230;enseigner les maths apprend \u00e0 \u00eatre rigoureux&#8230; en math ! Et pas \u00e0 acqu\u00e9rir un comp\u00e9tence magique de \u00ab\u00a0rigueur de raisonnement\u00a0\u00bb. Il n&rsquo;y a PAS de transfert entre savoir raisonner dans un domaine (\u00e9chec, math, latin, &#8230;) et savoir raisonner dans un autre domaine.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">4 &#8211; Outils pour d&rsquo;autres mati\u00e8res<\/h3>\n\n\n\n<p>Certains outils math\u00e9matiques sont des pr\u00e9requis pour les objectifs d&rsquo;enseignement d&rsquo;autres disciplines, comme par exemple la physique, la chimie, la biologie, la g\u00e9ographie, l&rsquo;\u00e9conomie.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">5 &#8211; Acqu\u00e9rir des comp\u00e9tences professionnelles<\/h3>\n\n\n\n<p>Bien \u00e9videmment, dans les formations professionnelles \u00e0 des m\u00e9tiers qui utilisent des outils math\u00e9matiques (mod\u00e9lisation, calcul), il est indispensable de transmettre aux \u00e9l\u00e8ves les comp\u00e9tences li\u00e9es \u00e0 l&rsquo;utilisation de ces outils.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">6 &#8211; D\u00e9velopper les talents<\/h3>\n\n\n\n<p>Tout le monde n&rsquo;a pas vocation \u00e0 devenir math\u00e9maticienne ou math\u00e9maticien, ni \u00e0 s&rsquo;orienter vers des domaines n\u00e9cessitant un niveau \u00e9lev\u00e9 en math\u00e9matiques. Mais on peut penser que la d\u00e9couverte des math\u00e9matiques d\u00e8s l&rsquo;enfance, ou l&rsquo;int\u00e9r\u00eat suscit\u00e9 par cette mati\u00e8re lors de l&rsquo;adolescence, peut permettre \u00e0 certaines personnes de prendre conscience de leur potentiel et les amener \u00e0 choisir une voie \u00e0 laquelle elles n&rsquo;auraient pas song\u00e9 si elle n&rsquo;avaient pas eu l&rsquo;occasion de d\u00e9couvrir certains aspects des math\u00e9matiques lors de leur scolarit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">7 &#8211; Culture scientifique<\/h3>\n\n\n\n<p>Les math\u00e9matiques font partie du patrimoine immat\u00e9riel de l&rsquo;humanit\u00e9, au m\u00eame titre que les grandes oeuvres litt\u00e9raires, musicales, et de tous les autres domaines de la connaissance. \u00c0 ce titre, de nombreux \u00e9l\u00e9ments de math\u00e9matiques devraient \u00eatre consid\u00e9r\u00e9s comme appartenant \u00e0 la culture g\u00e9n\u00e9rale. Je pense, par exemple, au th\u00e9or\u00e8me de Pythagore, \u00e0 certains ensembles de nombres tels que les naturels, les r\u00e9els, les rationnels, les irrationnels, les complexes, au nombre Pi, \u00e0 la trigonom\u00e9trie, \u00e0 ce qui touche \u00e0 la notion d&rsquo;infini et d&rsquo;ensembles d\u00e9nombrables ou non d\u00e9nombrables, ou encore \u00e0 la d\u00e9marche axiomatique. Une telle culture peut s&rsquo;acqu\u00e9rir tout au long de la vie et \u00eatre tr\u00e8s diff\u00e9rente d&rsquo;une personne \u00e0 l&rsquo;autre. Il ne faut pas confondre culture g\u00e9n\u00e9rale et culture universelle. Dans le cadre scolaire, elle pourrait \u00eatre abord\u00e9e, \u00e0 tous niveaux, dans des enseignements d&rsquo;histoire des sciences.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Mon regard sur les objectifs<\/h2>\n\n\n\n<p>J&rsquo;en arrive \u00e0 la conclusion qu&rsquo;il y a de tr\u00e8s bonnes raisons d&rsquo;enseigner les math\u00e9matiques \u00e0 tout le monde, en diff\u00e9renciant toutefois les objectifs d&rsquo;apprentissage \u00e0 partir d&rsquo;un certain stade. C&rsquo;est pr\u00e9cis\u00e9ment ce que fait notre syst\u00e8me \u00e9ducatif. Mais il me semble tr\u00e8s important de ne pas se tromper d&rsquo;objectif, et d&rsquo;utiliser des approches p\u00e9dagogiques \u00e0 la fois adapt\u00e9es au public concern\u00e9 et align\u00e9es avec les objectifs cibl\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n<p>Il me semble essentiel d&rsquo;enseigner et de consolider au fil des ann\u00e9es les notions math\u00e9matiques n\u00e9cessaires aux deux premiers objectifs pr\u00e9sent\u00e9s plus haut : acqu\u00e9rir des <strong>comp\u00e9tences de survie <\/strong>et appuyer notre <strong>compr\u00e9hension du monde<\/strong> dans lequel nous vivons. Par exemple, les notions de probabilit\u00e9s, de statistiques, de proportionnalit\u00e9, ou encore de croissance exponentielle, lin\u00e9aire ou polynomiale, devraient \u00eatre abord\u00e9es et consolid\u00e9es \u00e0 diff\u00e9rentes \u00e9tapes des parcours scolaires, dans l&rsquo;esprit de les rendre accessibles et compr\u00e9hensibles par le public cibl\u00e9, sur la base d&rsquo;exemples concrets.<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Concernant le troisi\u00e8me objectif, <strong>apprendre \u00e0 penser<\/strong>, [Attention, cet objectif est peut-\u00eatre illusoire, voir plus haut] ce qui me semble important, ce ne sont pas tant les notions math\u00e9matiques abord\u00e9es &#8211; elles doivent \u00eatre multiples et diverses &#8211; que la mani\u00e8re des les aborder et le moment o\u00f9 elles sont abord\u00e9es, c&rsquo;est \u00e0 dire le quand et le comment.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Concernant le quatri\u00e8me et le cinqui\u00e8me objectifs, acqu\u00e9rir des <strong>comp\u00e9tences m\u00e9tiers<\/strong> et ma\u00eetriser des <strong>outils n\u00e9cessaires <\/strong>pour progresser dans<strong> d&rsquo;autres disciplines<\/strong>, il me parait important de bien distinguer :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>d&rsquo;une part, les outils math\u00e9matiques indispensables,<\/li>\n\n\n\n<li>et d&rsquo;autre part, les fondements th\u00e9oriques de ces outils, qui rel\u00e8vent de la culture scientifique et qui, je pense, ne devraient pas avoir de caract\u00e8re \u00e9liminatoire dans les \u00e9valuations et certifications.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Le sixi\u00e8me objectif, <strong>susciter des vocations et d\u00e9tecter des talents<\/strong>, est tr\u00e8s important, mais ne devrait pas conduire \u00e0 imposer \u00e0 tout le monde des activit\u00e9s per\u00e7ues comme contraignantes et r\u00e9barbatives par certaines personnes. Je pense qu&rsquo;il faut aborder cet objectif de mani\u00e8re ludique, sans obligation de r\u00e9sultat, et donc sans p\u00e9naliser par de mauvaises notes les personnes qui ne s&rsquo;av\u00e8rent pas int\u00e9ress\u00e9es, malgr\u00e9 les incitations, par les sp\u00e9cialit\u00e9s qu&rsquo;on leur fait d\u00e9couvrir.<\/p>\n\n\n\n<p>Quant au septi\u00e8me objectif, la <strong>culture scientifique<\/strong>, il devrait, \u00e0 mon sens, privil\u00e9gier des approches p\u00e9dagogiques qui d\u00e9veloppent la curiosit\u00e9 intellectuelle, sans forcer les choses trop t\u00f4t, \u00e0 un moment ou le public cibl\u00e9 n&rsquo;aurait pas la maturit\u00e9 n\u00e9cessaire pour s&rsquo;int\u00e9resser aux sujets abord\u00e9s (j&rsquo;ai constat\u00e9 que cela ne se produit au m\u00eame \u00e2ge pour tout le monde). On ne peut pas amener les gens \u00e0 s&rsquo;int\u00e9resser \u00e0 quelque chose \u00e0 marche forc\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Mes inqui\u00e9tudes<\/h2>\n\n\n\n<p>J&rsquo;ai trois motifs d&rsquo;inqui\u00e9tude, qui concernent<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>les contenus des programmes, c&rsquo;est \u00e0 dire le <strong>quoi<\/strong>,<\/li>\n\n\n\n<li>les pratiques d&rsquo;enseignement, c&rsquo;est \u00e0 dire le <strong>comment<\/strong>, et<\/li>\n\n\n\n<li>le moment o\u00f9 sont abord\u00e9es certaines notions, c&rsquo;est \u00e0 dire le <strong>quand<\/strong>.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le quoi<\/h3>\n\n\n\n<p>Lorsque je parcoure les programmes scolaires de coll\u00e8ge et de lyc\u00e9e, j&rsquo;ai vraiment le sentiment qu&rsquo;ils sont tr\u00e8s charg\u00e9s, qu&rsquo;ils abordent un nombre consid\u00e9rable de concepts issus de milliers d&rsquo;ann\u00e9es de r\u00e9flexions men\u00e9es par des personnes brillantes. Pour les \u00e9l\u00e8ves ayant une certaine app\u00e9tence pour les math\u00e9matiques, il y a sans nul doute de quoi se r\u00e9galer. Mais je crains que pour beaucoup de gens, cela provoque un effet de saturation qui entra\u00eene un rejet des math\u00e9matiques parfois lourd de cons\u00e9quences en termes de poursuite d&rsquo;\u00e9tudes et de perspectives professionnelles.<\/p>\n\n\n\n<p>Par ailleurs, il me semble que certains aspects des math\u00e9matiques, comme par exemple les \u00e9tudes de fonctions, la d\u00e9rivation, l&rsquo;int\u00e9gration, sont sur-repr\u00e9sent\u00e9s dans l&rsquo;enseignement secondaire g\u00e9n\u00e9ral et professionnel, au regard de ce qu&rsquo;ils apportent aux diff\u00e9rents objectifs \u00e9voqu\u00e9s plus haut.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le comment<\/h3>\n\n\n\n<p>Les approches p\u00e9dagogiques pr\u00e9conis\u00e9es dans les documents officiels et par certains experts en sciences de l&rsquo;\u00e9ducation donnent une tr\u00e8s grande importance \u00e0 l&rsquo;acquisition d&rsquo;automatismes. Il est \u00e9vident, et d\u00e9montr\u00e9, que l&rsquo;acquisition d&rsquo;automatismes est indispensable pour \u00eatre en mesure de r\u00e9aliser efficacement des t\u00e2ches complexes, mais aussi pour apprendre efficacement de nouveaux savoirs. Si une proc\u00e9dure complexe n\u00e9cessite d&rsquo;encha\u00eener des proc\u00e9dures plus simples, et que vous devez mobiliser votre m\u00e9moire de travail en t\u00e2tonnant laborieusement pour r\u00e9aliser ces proc\u00e9dures simples, vous \u00eates en surcharge cognitive et vous perdez le fil de la proc\u00e9dure complexe, ce qui entrave votre apprentissage.<\/p>\n\n\n\n<p>Mais l&rsquo;acquisition de ces automatismes ne doit pas occulter les objectifs de haut niveau tels que la capacit\u00e9 \u00e0 analyser une situation nouvelle, \u00e0 comprendre en profondeur un syst\u00e8me complexe, \u00e0 r\u00e9soudre un probl\u00e8me nouveau en utilisant \u00e0 bon escient des approches et techniques ant\u00e9rieurement exploit\u00e9es dans des contextes diff\u00e9rents, \u00e0 cr\u00e9er une proc\u00e9dure permettant de r\u00e9soudre une s\u00e9rie de probl\u00e8mes similaires. Je pense qu&rsquo;imposer aux \u00e9l\u00e8ves de graver un automatisme dans leur cerveau repr\u00e9sente une grosse responsabilit\u00e9 et doit pouvoir \u00eatre justifi\u00e9 : \u00e0 qui cet automatisme sera utile ? Dans quels contextes, quelles circonstances ? Pour quels types de t\u00e2ches ? \u00c0 quels moments de la vie ?<\/p>\n\n\n\n<p>Prenons un exemple. Dans certaines classes de coll\u00e8ge, l&rsquo;un des nombreux automatismes \u00e0 acqu\u00e9rir est de d\u00e9terminer si un triangle est rectangle, \u00e9tant donn\u00e9es les longueurs de ses cot\u00e9s, en utilisant la r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore. Le probl\u00e8me me parait int\u00e9ressant comme sujet de r\u00e9flexion. Mais est-ce raisonnable de l&rsquo;\u00e9riger au statut d&rsquo;automatisme, c&rsquo;est \u00e0 dire d&rsquo;imposer aux \u00e9l\u00e8ves d&rsquo;\u00eatre en mesure de le traiter sans r\u00e9fl\u00e9chir, de mani\u00e8re imm\u00e9diate et m\u00e9canique ? A mon sens, le principal int\u00e9r\u00eat d&rsquo;un tel probl\u00e8me c&rsquo;est, au contraire, d&rsquo;essayer de le r\u00e9soudre en recherchant soi-m\u00eame une m\u00e9thode. D&rsquo;un autre cot\u00e9, m\u00eame dans une classe tr\u00e8s h\u00e9t\u00e9rog\u00e8ne avec de grandes diff\u00e9rences de niveaux et de bagages, la plupart des \u00e9l\u00e8ves peuvent, avec quelques efforts, ma\u00eetriser ce type d&rsquo;objectif. Cela permet de donner de bonnes notes et peut-\u00eatre de susciter l&rsquo;engagement, ou \u00e0 tout le moins de r\u00e9duire le d\u00e9couragement. Mais n&rsquo;y a t-il pas un risque de masquer les difficult\u00e9s de certaines personnes \u00e0 progresser vers des comp\u00e9tences cognitives de haut niveau, au lieu de les cibler pour aider chaque \u00e9l\u00e8ve de d\u00e9velopper au mieux son potentiel ?<\/p>\n\n\n\n<p>Dans l&rsquo;exercice de mon m\u00e9tier d&rsquo;enseignant universitaire, je constate que certaines personnes apprenantes sont, malgr\u00e9 leur efforts, bloqu\u00e9es dans leurs apprentissages de comp\u00e9tences de hauts niveaux cognitifs relevant du domaine de l&rsquo;ing\u00e9nierie. Ces personnes semblent \u00eatre \u00e0 la recherche d&rsquo;automatisme, de \u00ab\u00a0recettes\u00a0\u00bb, face \u00e0 des probl\u00e8mes qui pr\u00e9sentent trop de variabilit\u00e9 pour \u00eatre trait\u00e9s avec ce genre d&rsquo;approche. J&rsquo;ai l&rsquo;impression qu&rsquo;il y a eu, au coll\u00e8ge ou au lyc\u00e9e, des occasions manqu\u00e9es d&rsquo;amener ces personnes \u00e0 mieux d\u00e9velopper les comp\u00e9tences que j&rsquo;ai \u00e9nonc\u00e9es plus haut en pr\u00e9sentant l&rsquo;objectif \u00ab\u00a0apprendre \u00e0 penser\u00a0\u00bb. Bien que leurs aptitudes \u00e0 d\u00e9duire, g\u00e9n\u00e9raliser, analyser, comprendre, et cr\u00e9er soient sans doute intactes, ces personnes ne parviennent pas \u00e0 les mobiliser au niveau n\u00e9cessaire, et se retrouvent en situation d&rsquo;\u00e9chec.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le quand<\/h3>\n\n\n\n<p>Je crains que certaines notions soient abord\u00e9es trop t\u00f4t pour certains et certaines \u00e9l\u00e8ves, c&rsquo;est \u00e0 dire \u00e0 un moment o\u00f9 ces personnes ne ma\u00eetrisent pas les pr\u00e9requis. Cela me parait in\u00e9vitable dans tout syst\u00e8me \u00e9ducatif o\u00f9 toutes les personnes d&rsquo;un m\u00eame \u00e2ge, quel que soit leur niveau et leurs acquis, ont les m\u00eames objectifs d&rsquo;apprentissage et \u00e9tudient dans les m\u00eames conditions et au m\u00eame rythme. L&rsquo;\u00e9cole de la r\u00e9publique ne permet pas de choisir son quand.<\/p>\n\n\n\n<p>Mais les pr\u00e9requis ne sont pas le seul facteur \u00e0 consid\u00e9rer. Il y a aussi la maturit\u00e9 intellectuelle des personnes apprenantes. Certaines notions de math\u00e9matiques introduites au coll\u00e8ge et au lyc\u00e9e m&rsquo;ont largement \u00e9chapp\u00e9es parce qu&rsquo;\u00e0 l&rsquo;\u00e9poque, elles me barbaient profond\u00e9ment et que je n&rsquo;\u00e9tais pas motiv\u00e9 pour les apprendre, alors que, quelques ann\u00e9es plus tard, elles auraient pu m&rsquo;int\u00e9resser. Tout le monde apprend peut-\u00eatre de la m\u00eame mani\u00e8re, mais tout le monde n&rsquo;est pas int\u00e9ress\u00e9 ou motiv\u00e9, au m\u00eame \u00e2ge, par les m\u00eames choses.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ce que je vais dire ici \u00e0 propos des math\u00e9matiques correspond \u00e0 l&rsquo;\u00e9tat actuel de ma compr\u00e9hension des fondements de ce domaine, et r\u00e9sulte de centaines d&rsquo;heures de r\u00e9flexion r\u00e9parties tout au long de ma vie. Ma compr\u00e9hension \u00e9volue en permanence. 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