{"id":388,"date":"2019-07-07T22:51:52","date_gmt":"2019-07-07T20:51:52","guid":{"rendered":"https:\/\/bailleux.net\/?p=388"},"modified":"2019-08-16T16:05:38","modified_gmt":"2019-08-16T14:05:38","slug":"redistribution-de-copies","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/redistribution-de-copies\/","title":{"rendered":"Redistribution de copies"},"content":{"rendered":"\n

Apr\u00e8s un test \u00e9crit d’entra\u00eenement, un enseignant m\u00e9lange les copies et les redistribue \u00e0 ses \u00e9tudiants pour que chacun d’eux corrige le test d’un autre. Mais il peut arriver qu’un \u00e9tudiant se retrouve avec sa propre copie. Si cette op\u00e9ration \u00e9tait r\u00e9p\u00e9t\u00e9e de nombreuses fois, combien d’\u00e9tudiants, en moyenne<\/em>, seraient dans ce cas ?<\/p>\n\n\n\n

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Dans le langage math\u00e9matique, le \u00ab\u00a0m\u00e9lange\u00a0\u00bb des copies s’appelle une permutation<\/strong>, et lorsqu’un des objets m\u00e9lang\u00e9s revient \u00e0 sa place initiale, on appelle cela un point fixe<\/strong>. Or le nombre moyen de points fixes, pour une permutation al\u00e9atoire, ne d\u00e9pend pas du nombre d’objets permut\u00e9s. (Le nombre de copies, dans notre exemple.) Il est \u00e9gal \u00e0 1<\/strong>. Voici l’explication.<\/p>\n\n\n\n

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Bien s\u00fbr, cette valeur 1 n’est qu’une moyenne. Pour une permutation de n objets, le nombre de point fixes peut varier. Par exemple, s’il n’y a que deux \u00e9tudiants, soit chaque \u00e9tudiant r\u00e9cup\u00e8re sa copie, il y a alors 2 points fixes, soit chaque \u00e9tudiant r\u00e9cup\u00e8re l’autre copie, il n’y a alors aucun point fixe. En moyenne, un \u00e9tudiant r\u00e9cup\u00e8re sa copie, bien qu’en pratique cela n’arrive jamais.<\/p>\n\n\n\n

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Maintenant, vous vous demandez peut \u00eatre quelle est la probabilit\u00e9 qu’il n’y ait aucun<\/em> point fixe. Une permutation sans point fixe est appel\u00e9e un d\u00e9rangement. La probabilit\u00e9 qu’une permutation al\u00e9atoire soit un d\u00e9rangement d\u00e9pend du nombre n d’objets m\u00e9lang\u00e9s, mais pour n suffisamment grand, elle est tr\u00e8s proche de 1\/e, o\u00f9 e est la base des logarithmes n\u00e9p\u00e9riens, ce qui fait environ 0,37.<\/p>\n\n\n\n

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