{"id":353,"date":"2019-03-21T19:10:01","date_gmt":"2019-03-21T18:10:01","guid":{"rendered":"https:\/\/bailleux.net\/?p=353"},"modified":"2019-08-16T16:06:01","modified_gmt":"2019-08-16T14:06:01","slug":"anne-barnabe-et-bayes-participent-a-un-jeu-televise","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/bailleux.net\/pagepro\/anne-barnabe-et-bayes-participent-a-un-jeu-televise\/","title":{"rendered":"Anne, Barnab\u00e9 et Bayes participent \u00e0 un jeu t\u00e9l\u00e9vis\u00e9"},"content":{"rendered":"\n

Ai-je compris tous les messages de la vid\u00e9o Marilyn versus Monty Hall | Bayes 4<\/a> diffus\u00e9e sur l’excellente cha\u00eene Science4All, anim\u00e9e par le math\u00e9maticien L\u00ea Nguy\u00ean Hoang ? Cette vid\u00e9o aborde un probl\u00e8me \u00e9ponyme de probabilit\u00e9s conditionnelles dans lequel un participant d’un jeu t\u00e9l\u00e9vis\u00e9 doit choisir un rideau parmi trois, sachant que derri\u00e8re un des rideaux se cache une voiture et derri\u00e8re chacun des deux autres une ch\u00e8vre. Apr\u00e8s son premier choix, le candidat re\u00e7oit une nouvelle information qui est la localisation d’un rideau, parmi les deux qu’il n’a pas choisi, derri\u00e8re lequel se trouve une ch\u00e8vre. La question pos\u00e9e est : sur la base de cette nouvelle information, le candidat a-il int\u00e9r\u00eat \u00e0 modifier son choix initial ?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

La premi\u00e8re partie de la vid\u00e9o est tr\u00e8s int\u00e9ressante et je vous invite \u00e0 la regarder car elle montre que m\u00eame des math\u00e9maticiens exp\u00e9riment\u00e9s peuvent faire des erreurs de raisonnement. Dans la deuxi\u00e8me partie, qui commence \u00e0 10:45<\/a>, L\u00ea explique comment utiliser la formule de Bayes pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me des trois rideaux. Je vais reprendre son explication avec un regard critique en tentant d’apporter quelques \u00e9l\u00e9ments qui, je pense, m’auraient permis comprendre plus vite la d\u00e9marche propos\u00e9e s’ils avaient \u00e9t\u00e9 donn\u00e9s dans la vid\u00e9o.<\/p>\n\n\n\n

Tout d’abord, je vais rappeler la version la plus simple de la formule de Bayes, et je donnerai ensuite la version utilis\u00e9e par L\u00ea. La premi\u00e8re version fait intervenir deux variables H et D qui repr\u00e9sentent des ensembles <\/em>d’observations possibles auxquelles sont associ\u00e9es des probabilit\u00e9s. L’ensemble D repr\u00e9sente des observations pouvant \u00eatre faites lors d’une exp\u00e9rience, et l’ensemble H les observations qui sont coh\u00e9rentes avec une certaine hypoth\u00e8se. On se permettra d’utiliser la m\u00eame notation H pour d\u00e9signer l’hypoth\u00e8se et les \u00e9v\u00e8nements observables en coh\u00e9rence avec cette hypoth\u00e8se. Voici une figure illustrant cette premi\u00e8re variante de la formule de Bayes.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

La figure ne couvre pas tous les cas possibles. Il se pourrait par exemple que D soit inclus dans H, ou que H soit inclus dans D, mais la formule, elle, s’applique dans tous les cas. Elle exprime la probabilit\u00e9 qu’une observation soit coh\u00e9rente avec l’hypoth\u00e8se H sachant que cette observation est dans D, et fait intervenir les probabilit\u00e9s suivantes : <\/p>\n\n\n\n

  • La probabilit\u00e9 P[D|H] qu’une donn\u00e9e observ\u00e9e soit dans D sachant que cette donn\u00e9e est coh\u00e9rente avec H.<\/li>
  • La probabilit\u00e9 P[H] qu’une observation soit coh\u00e9rente avec H.<\/li>
  • La probabilit\u00e9 P[D] qu’une observation soit dans D.<\/li><\/ul>\n\n\n\n

    Dans la vid\u00e9o, L\u00ea parle de th\u00e9orie <\/em>plut\u00f4t que d’hypoth\u00e8se, et utilise la lettre T pour d\u00e9signer cette th\u00e9orie. Mais dans les deux cas, je pense qu’on parle bien d’un ensemble d’observations possibles ayant chacune une certaine probabilit\u00e9. D’autre part, il utilise une version de la formule de Bayes dans laquelle la probabilit\u00e9 P[D] est d\u00e9compos\u00e9e <\/em>sous la forme d’une somme dans laquelle apparaissent les probabilit\u00e9s conditionnelles d’observer une donn\u00e9e de type D selon diff\u00e9rentes th\u00e9ories. On consid\u00e8re alors implicitement un ensemble d’hypoth\u00e8ses (th\u00e9ories) qui contient une hypoth\u00e8se H \u00e0 laquelle on s’int\u00e9resse particuli\u00e8rement, mais aussi les autres hypoth\u00e8ses alternatives. Voici la mani\u00e8re dont L\u00ea \u00e9crit la formule. La lettre T d\u00e9signe l’hypoth\u00e8se \u00e0 laquelle on s’int\u00e9resse, et la lettre A d\u00e9signe les hypoth\u00e8ses alternatives.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Voici une reformulation de la d\u00e9composition qui apparait au d\u00e9nominateur. J’ai utilis\u00e9 les lettres A et H pour d\u00e9signer respectivement l’hypoth\u00e8se de r\u00e9f\u00e9rence et les hypoth\u00e8ses alternatives, et un H majuscule cursif pour d\u00e9signer l’ensemble de toutes les hypoth\u00e8ses (i.e. l’hypoth\u00e8se de r\u00e9f\u00e9rence et les hypoth\u00e8ses alternatives).<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Mais attention ! Il y a quelque chose que L\u00ea ne pr\u00e9cise pas et qui me parait important : La d\u00e9composition de P[D] n’est correcte que si les hypoth\u00e8ses consid\u00e9r\u00e9es sont mutuellement exclusives et couvrent toutes les observations possibles. En d’autres termes, chaque observation possible doit \u00eatre coh\u00e9rente avec une hypoth\u00e8se et une seule<\/em>. Il est facile de voir sur la figure ci dessus que si par exemple H2 et H3 se recouvrent, \u00e7a ne fonctionne plus.<\/p>\n\n\n\n

    Rentrons maintenant dans le vif du sujet. L\u00ea introduit trois hypoth\u00e8ses (th\u00e9ories) correspondant aux trois emplacements possibles de la voiture. Il attribue la probabilit\u00e9 1\/3 \u00e0 chacune de ces hypoth\u00e8ses, ce qui me parait raisonnable puisqu’on a aucune information et qu’on peut m\u00eame supposer que cet emplacement a \u00e9t\u00e9 choisi al\u00e9atoirement. Il appelle pr\u00e9jug\u00e9 <\/em>ces trois probabilit\u00e9s. Sans perte de g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9, il suppose que le candidat a choisi le rideau du milieu, puis se place dans le cas o\u00f9 le pr\u00e9sentateur a r\u00e9v\u00e9l\u00e9 qu’une ch\u00e8vre se trouvait derri\u00e8re le rideau de droite. Au regard de cette information, L\u00ea calcule les probabilit\u00e9s de la donn\u00e9e observ\u00e9e D = [il y a une ch\u00e8vre \u00e0 droite] pour chacune des des trois th\u00e9ories, \u00e0 savoir T1 : la voiture est \u00e0 gauche, T2 : la voiture est au milieu, et T3 : la voiture est \u00e0 droite. Sauf qu’il ne num\u00e9rote pas explicitement les th\u00e9ories et utilise \u00e0 chaque fois la lettre T. Je pense que le raisonnement aurait \u00e9t\u00e9 plus facile \u00e0 suivre avec une num\u00e9rotation des trois hypoth\u00e8ses.<\/p>\n\n\n\n

    Quoi qu’il en soit, on a P[D|T3] = 0 parce que sous l’hypoth\u00e8se T3 o\u00f9 la voiture est \u00e0 droite, la probabilit\u00e9 d’observer une ch\u00e8vre \u00e0 droite est nulle. Ce terme P[D|T3] est appel\u00e9 terme d’exp\u00e9rience de pens\u00e9e<\/em> de la th\u00e9orie T3. Ensuite, on a P[D|T1] = 1 car sous l\u2019hypoth\u00e8se T1 o\u00f9 la voiture est \u00e0 gauche, le pr\u00e9sentateur ouvre forc\u00e9ment le rideau de droite (puisqu’il ne veut pas montrer la voiture ni lever le rideau initialement d\u00e9sign\u00e9 par le candidat). Enfin P[D|T2] = 1\/2 car sous l’hypoth\u00e8se T2 o\u00f9 la voiture est au milieu, le pr\u00e9sentateur peut choisir de r\u00e9v\u00e9ler soit la ch\u00e8vre de droite, soit la ch\u00e8vre de gauche. L\u00ea traduit cela par la phrase \u00ab\u00a0Dans la th\u00e9orie T2, on pr\u00e9dit la donn\u00e9e observ\u00e9e avec probabilit\u00e9 1\/2\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

    Ensuite, L\u00ea calcule le score <\/em>de chaque th\u00e9orie, c’est \u00e0 dire les termes P[D|T1] P[T1] = 1\/3, P[D|T2] P[T2] = 1\/6 et P[D|T3] P[T3] = 0. On per\u00e7oit ici qu’au regard de l’information D dont on dispose, la th\u00e9orie T1 (la voiture est \u00e0 gauche) est deux fois plus probable que la th\u00e9orie T2 (la voiture est au milieu). On applique alors la formule de Bayes pour chacune des trois th\u00e9ories. L\u00ea fait un raccourci en s’appuyant implicitement sur le fait que les trois th\u00e9ories sont \u00e9quiprobables. Sans ce raccourci, le d\u00e9nominateur vaut 1x(1\/3) + (1\/2)x(1\/3) + 0x(1\/3) = 1\/2. Les probabilit\u00e9s des trois th\u00e9ories sachant la donn\u00e9e connue sont respectivement P[T1|D] = 2\/3, P[T2|D] = 1\/3 et P[T3|D] = 0. Donc le candidat a deux fois plus de chance de gagner la voiture s’il change d’avis et choisi le rideau de gauche.<\/p>\n\n\n\n

    La question importante que L\u00ea n’aborde pas, peut \u00eatre parce qu’il trouve la r\u00e9ponse \u00e9vidente, c’est l’utilit\u00e9 de la d\u00e9composition de la probabilit\u00e9 P[D]. Aurait-on pu calculer facilement cette probabilit\u00e9 et utiliser directement la premi\u00e8re variante de la formule de Bayes ? J’ai l’impression que la r\u00e9ponses est non. Il est difficile d\u2019appr\u00e9hender cette probabilit\u00e9 que l’animateur r\u00e9v\u00e8le une ch\u00e8vre derri\u00e8re le rideau de droite sans prendre en compte les diff\u00e9rentes th\u00e9ories T1, T2 et T3 et cela m\u00e9ritait d’\u00eatre dit. Une autre petite critique est qu’il est difficile de bien se repr\u00e9senter ce que sont les observations \u00e9l\u00e9mentaires pouvant appartenir aux ensembles T1, T2, T3 et D, et un effort explicatif aurait pu \u00eatre fait \u00e0 ce niveau. Si j’ai bien compris, une observation combine deux informations : la position de la voiture et le rideau lev\u00e9 par l’animateur. Voici une illustration graphique qui montre ce que je consid\u00e8re \u00eatre les 4 observations possibles (de probabilit\u00e9s non nulles) si le candidat choisit initialement le rideau du milieu. Chacune de ces observations inclut tout l’historique, depuis la position de la voiture et des ch\u00e8vres jusqu’au rideau lev\u00e9 par l’animateur. On voit notamment que P[D] vaut 1\/3 + 1\/6 = 1\/2. <\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Pour conclure, ma principale critique de la vid\u00e9o objet de ce billet, c’est qu’il manque une explication de la nature des objets math\u00e9matiques repr\u00e9sent\u00e9s par les lettres T (th\u00e9orie) et D (donn\u00e9e connue ou observ\u00e9e). A tel point que j’esp\u00e8re ne pas m’\u00eatre fourvoy\u00e9 en consid\u00e9rant que T (ou les Ti) et D sont des ensembles d’\u00e9v\u00e8nements \u00e9l\u00e9mentaires, chacun pouvant \u00eatre observ\u00e9s avec une certaine probabilit\u00e9. Mais si je me suis tromp\u00e9, j’esp\u00e8re que l’auteur passera par l\u00e0 et pourra apporter des pr\u00e9cisions qui me permettront de modifier ce billet.<\/p>\n\n\n\n

    Concernant le choix de ce probl\u00e8me particulier pour illustrer la puissance de la formule de Bayes, je dirais que le caract\u00e8re contrintuitif de la solution et le fait que le probl\u00e8me soit c\u00e9l\u00e8bre sont des facteurs positifs. Mais par contre, le fait que les \u00ab\u00a0possibles\u00a0\u00bb soit des objets assez complexes, incluant la position de la voiture et le rideau lev\u00e9 par l’animateur, fait qu’il me serait assez difficile de faire le raisonnement \u00ab\u00a0Bay\u00e9sien\u00a0\u00bb sans \u00eatre guid\u00e9 par un sp\u00e9cialiste. En outre, il y a un raisonnement tr\u00e8s simple et pas sp\u00e9cialement Bay\u00e9sien qui permet de conclure de mani\u00e8re convaincante, en imaginant qu’il y a deux candidats, Anne et Barnab\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Anne joue en premier et choisi le rideau central. Elle ne change pas d’avis. Puis le pr\u00e9sentateur d\u00e9voile une ch\u00e8vre, et ensuite Barnab\u00e9 choisi le rideau restant qui n’a pas \u00e9t\u00e9 choisi par Anne. Clairement, l’un des deux candidats gagne la voiture. Comme la voiture a une probabilit\u00e9 1\/3 d’\u00eatre remport\u00e9e par Anne, alors elle a une probabilit\u00e9 2\/3 d’\u00eatre gagn\u00e9e par Barnab\u00e9. <\/p>\n\n\n\n

    L\u00ea anticipe cette critique en disant que le but de la vid\u00e9o n’est pas sp\u00e9cifiquement de monter la mani\u00e8re la plus simple de r\u00e9soudre le probl\u00e8me donn\u00e9 en exemple, mais de montrer comment le r\u00e9soudre de mani\u00e8re \u00ab\u00a0Bay\u00e9sienne\u00a0\u00bb. Mais il reste qu’il y a un gouffre entre la simplicit\u00e9 de la r\u00e9solution de ce probl\u00e8me avec Anne et Barnab\u00e9 et la relative complexit\u00e9 de sa r\u00e9solution avec Bayes.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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